lunes, 13 de junio de 2011

Integrales de la forma



Integrales de la forma
Caso 1, n es impar se utilizan las siguientes identidades
-Sen² A= 1-Cos²  A  ˄ Cos² A= 1-Asen²A
∫Sen⁵2x dx=  ∫Sen⁴2x.Sen2x dx
=∫(Sen²2x)².Sen2x dx = ∫(1-Cos²2x)².Sen2x dx
=∫(1-2Cos²2x + Cos⁴2x).Sen2x dx
=∫Sen2x dx - 2∫Cos²2x.Sen2x dx + ∫Cos⁴2x.Sen2x
I)             =∫Sen2x dx
u= 2x
du=2dx
du/2=dx
½∫sen u du
-½∫Cos u + C,
-½∫Cos 2x + C,


      (II)      2∫Cos²2x.Sen2x dx
                u= Cos2x
               du=-Sen2x.(2)’
               -du/2= Sen2x dx
               -½∫u²du
               =-½.3 uᶟ
               =-⅙ Cosᶟ2x+C,

     (III)      Cos⁴2x.Sen2x
                   u= cos2x
                   du=-Sen2x(2x)’
                   -du/2=Sen2x dx
                   =-½∫u⁴ du =-½.u⁵/5 + C
                   =-1/10 Cos⁵2x + C

-½∫Cos 2x + -⅙ Cosᶟ2x - 1/10 Cos⁵2x  + C

Caso 2, n es par se utilizan las siguientes identidades
-Sen² A=-1Cos2A/2 ˄ 1+ Cos2A/2
∫Sen6x dx = ∫(Sen² x)3 dx
=∫(Cos2x/2)3 dx
=∫1-3Cos²2x - Cos2 2x/8 dx
=∫1/8 dx – 3/8∫Cos2x + 3/8∫Cos2 2x dx – 1/8∫Cos3 2x dx

                                              Par                     Impar
(I)            1/8 ∫dx  = 1/8x + C

(II)          – 3/8∫Cos2x

-3/8 . 1/2 Sen 2x + C

-3/16 Sen 2x + C
     (III)      3/8∫Cos²2x dx = 3/8∫1 + Cos 4x/2 dx
                  =3/16∫(1 + Cos 4x) dx = 3/16∫( x + 1/4 Sen 4x) + C
                 =3/64 Sen 4x + 3/16 x + C       
(III)         -1/8∫(Cos3 2x dx = -1/8∫Cos² 2x.Cos2x dx

=-1/8∫(1 – Sen² 2x).Cos2x dx
=-1/8∫Cos2x dx + 1/8∫Sen 2x.Cos2x dx
=-1/8.1/2 Sen 2x + 1/8.1/6 Sen3 2x + C
=-1/16 Sen 2x + 1/48 Sen3 2x + C

u= Sen 2x
du= Cos 2x (2x)’ dx
du/2= Cos 2x dx
∫u² du/2 = u3/6 + C
=1/6 Sen3 2x + C

1/8 x -3/16 Sen 2x + 3/16 x + 3/64 Sen 4x – 1/16 Sen 2x + 1/48 Sen3 2x + C
5/16 x -4/16 Sen 2x + 3/64 Sen 4x + 1/48 Sen3 2x + C
1/16(5x – 4Sen 2x + 3/4 sen 4x + 1/3 Sen3 2x) + C

Ejercicios para resolver
1)    Cos4(5x) dx
2)    Cos53 dx
3)    Sen7 3x dx

4)     Sen4√5x dx


Acá les dejos algunos link para descargar Libros De Calculo por si tiene alguna duda sobre los integrales
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
http://es.scribd.com/doc/5485163/LIBRO-CALCULO-INTEGRAL
http://rinconmatematico.com/libros.htm



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ORINGEN DE LAS INTEGRALES

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.









Integrales
Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.